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볼차노-바이어슈트라스 정리

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목차

1. 개요

볼차노-바이어슈트라스 정리는 유계 수열이 수렴하는 부분 수열을 갖는다는 정리로, 1817년 볼차노에 의해 처음 증명되었고, 카를 바이어슈트라스에 의해 재증명되어 실해석학의 필수적인 정리가 되었다. 실수, 유클리드 공간에서 성립하며, 경제학의 균형 개념 증명에도 활용된다.

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볼차노-바이어슈트라스 정리
개요
분야수학적 해석학
설명유계인 유클리드 공간의 모든 수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.
관련 항목볼차노 정리
명칭
영어Bolzano–Weierstrass theorem
독일어Satz von Bolzano-Weierstraß
일본어ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 (borutsuāno waierushutorasu no teiri)
한국어볼차노-바이어슈트라스 정리

2. 역사

볼차노-바이어슈트라스 정리는 보헤미아 출신의 수학자 베르나르트 볼차노와 독일의 수학자 카를 바이어슈트라스의 이름을 따서 명명되었다. 이 정리는 1817년 볼차노가 중간값 정리를 증명하는 과정에서 보조정리로 처음 사용하며 증명하였다. 약 50년 뒤, 바이어슈트라스는 이 정리 자체의 중요성을 인식하고 다시 증명하였다. 이후 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실해석학 분야에서 필수적인 정리로 자리매김했다.

3. 특례

볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수나 유클리드 공간과 같은 특정 공간에서는 중요한 성질이지만, 모든 거리 공간으로 일반화될 수는 없다. 즉, 일반적인 거리 공간에서는 집합이 유계이고 닫힌집합이라는 조건만으로는 점렬 콤팩트성(모든 수열이 수렴하는 부분 수열을 가짐)을 보장하지 못하는 경우가 존재한다.

대표적인 예시로 정수 집합 \mathbb{Z}에 이산 거리를 부여한 공간을 들 수 있다. 이 공간은 유계이고 닫힌집합이지만, 항이 서로 다른 무한 수열(예: (1, 2, 3, \dots))은 수렴하는 부분 수열을 가질 수 없으므로 점렬 콤팩트 공간이 아니다. 이러한 반례는 볼차노-바이어슈트라스 정리가 성립하지 않는 특수한 경우를 보여준다. 더 자세한 내용은 #거리 공간에서의 실패 섹션에서 다룬다.

3. 1. 실수

실수 집합 \mathbb R에서 '''볼차노-바이어슈트라스 정리'''는 모든 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖는다는 것을 말한다.[5] 이 정리는 실해석학의 기본적인 결과 중 하나이다.

증명 방법에는 여러 가지가 있다. 한 가지 방법은 모든 실수 수열이 단조 부분 수열을 갖는다는 보조정리(단조 부분 수열 정리)를 이용하는 것이다. 유계인 단조 수열은 항상 수렴한다는 단조 수렴 정리를 적용하면 증명이 완성된다. 이 증명 방법에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

또 다른 증명 방법은 내포 구간 정리를 사용하는 것이다.[4] 이 방법은 유계 수열 (x_n)을 포함하는 구간을 반복적으로 절반으로 줄여나가면서 수렴하는 부분 수열의 극한값을 찾는 방식으로 진행된다.

각 단계에서 구간의 길이는 절반으로 줄어들므로, 구간 길이의 극한은 0이다. 내포 구간 정리에 따르면, 닫힌 구간들의 내포된 수열 (I_n)의 교집합 \bigcap_{n=1}^\infty I_n은 공집합이 아니며, 구간 길이의 극한이 0이므로 정확히 하나의 원소 x를 포함한다. 각 구간 I_n은 구성상 수열 (x_n)의 무한히 많은 항을 포함하므로, x는 수열 (x_n)의 집적점이 된다. 이는 x로 수렴하는 (x_n)의 부분 수열이 존재함을 의미한다.

볼차노-바이어슈트라스 정리는 볼차노와 바이어슈트라스의 이름이 붙어 있지만, 1817년 볼차노가 중간값 정리를 증명하는 과정에서 보조정리로 먼저 증명했다. 약 50년 후 바이어슈트라스가 이 정리의 중요성을 인식하고 다시 증명하면서 널리 알려지게 되었다.

3. 1. 1. 실수에 대한 증명

실수 집합 \mathbb R에 대한 '''볼차노-바이어슈트라스 정리'''는 실수 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖는다는 내용이다.[5]

이 정리는 단조 부분 수열 정리와 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다. 먼저 모든 실수 수열이 단조 부분 수열을 갖는다는 보조정리를 증명한다.

'''보조정리 (단조 부분 수열 정리)''': 실수 집합 \mathbb{R}의 모든 무한 수열 (x_n)은 단조 부분 수열(증가하지 않거나 감소하지 않는 부분 수열)을 갖는다.

'''증명''':[4] 수열의 항 x_n에 대해, 만약 모든 m > n에 대해 x_n > x_m을 만족하면 해당 인덱스 n을 수열의 "정점(peak)"이라고 부르자.

  • 경우 1: 수열이 무한히 많은 정점을 갖는 경우

정점들의 인덱스를 n_1 < n_2 < n_3 < \dots < n_j < \dots라고 하자. 정점의 정의에 따라 x_{n_1} > x_{n_2} > x_{n_3} > \dots > x_{n_j} > \dots가 성립한다. 따라서 이 정점들에 해당하는 항들로 이루어진 부분 수열 (x_{n_j})는 단조 감소한다.

  • 경우 2: 수열이 유한 개의 정점만 갖는 경우

마지막 정점의 인덱스를 N이라고 하자 (정점이 하나도 없다면 N=0으로 둔다). n_1 = N+1로 설정하자. n_1은 마지막 정점보다 뒤에 있으므로 정점이 아니다. 따라서 n_1이 정점이 아니라는 정의에 의해, x_{n_1} \le x_{n_2}를 만족하는 인덱스 n_2 > n_1가 존재해야 한다. 마찬가지로 n_2도 N보다 크므로 정점이 아니다. 따라서 x_{n_2} \le x_{n_3}를 만족하는 인덱스 n_3 > n_2가 존재한다. 이 과정을 무한히 반복하면, 감소하지 않는(단조 증가하거나 일정한) 부분 수열 x_{n_1} \le x_{n_2} \le x_{n_3} \le \dots을 얻을 수 있다.

두 경우 모두 단조 부분 수열을 찾을 수 있으므로, 모든 실수 수열은 단조 부분 수열을 갖는다는 보조정리가 증명되었다.

이제 이 보조정리를 이용하여 볼차노-바이어슈트라스 정리를 증명할 수 있다.

유계인 실수 수열 (x_n)이 주어졌다고 하자. 위에서 증명한 보조정리에 의해, 이 수열은 단조 부분 수열 (x_{n_k})를 반드시 갖는다. 그런데 원래 수열 (x_n)이 유계이므로, 그 부분 수열인 (x_{n_k}) 역시 유계이다. 단조 수렴 정리에 따르면, 유계이면서 단조인 실수 수열은 항상 수렴한다. 따라서 부분 수열 (x_{n_k})는 수렴한다.

결론적으로, 임의의 실수 유계 수열 (x_n)은 항상 수렴하는 부분 수열 (x_{n_k})를 갖는다. 이것으로 실수 집합 \mathbb R에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리가 증명되었다.

3. 2. 유클리드 공간

유클리드 공간 \mathbb R^n에 대한 '''볼차노-바이어슈트라스 정리'''는 \mathbb R^n 안의 모든 유계 수열 (x_k)_{k\in\mathbb N}은 수렴하는 부분 수열을 갖는다는 내용을 담고 있다. 이 정리는 유클리드 공간의 부분 집합 S\subseteq\mathbb R^n에 대해 다음 두 조건이 서로 동치임을 함의한다.

  • S는 점렬 콤팩트 공간이다. (즉, S 안의 모든 수열은 S 안의 점으로 수렴하는 부분 수열을 가진다.)
  • S는 유계이고 닫힌집합이다.


이 동치 관계는 다음과 같이 설명될 수 있다. 만약 집합 A \subseteq \mathbb{R}^n가 점렬 콤팩트하다면(즉, A 내 모든 수열이 A의 원소로 수렴하는 부분 수열을 가진다면), A는 반드시 유계여야 한다. 그렇지 않다면 무한히 커지는 노름(norm)을 갖는 수열을 구성할 수 있고, 이 수열의 어떤 부분 수열도 수렴하지 않기 때문이다. 또한 A는 닫힌 집합이어야 한다. A의 극한점은 그 점으로 수렴하는 A 안의 수열을 가지며, 점렬 콤팩트 정의에 의해 그 극한점 역시 A 안에 포함되어야 하기 때문이다.

반대로, A가 닫힌 유계 집합이라면, A 안의 모든 수열은 유계이다. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 이 수열은 \mathbb{R}^n의 어떤 점 x로 수렴하는 부분 수열을 가지며, A가 닫힌 집합이므로 극한점 x는 반드시 A에 속해야 한다. 따라서 A는 점렬 콤팩트하다.

이 정리는 하이네-보렐 정리와 밀접한 관련이 있다. 하이네-보렐 정리는 \mathbb{R}^n의 부분 집합이 콤팩트이기 위한 필요충분조건이 그 집합이 닫힌 유계 집합이라는 것을 말한다. 위상수학에서 거리화 가능 공간의 경우 콤팩트성과 점렬 콤팩트성은 동치이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리와 하이네-보렐 정리는 본질적으로 같은 내용을 다른 관점에서 설명하는 것으로 볼 수 있다.

3. 2. 1. 유클리드 공간에 대한 증명

유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다.

'''(유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간)'''

유계 닫힌집합 S\subseteq\mathbb R^n 안의 수열

:(x_k=(x_{k,1},x_{k,2},\ldots,x_{k,n}))_{k\in\mathbb N}

을 생각해보자. 각 성분으로 이루어진 수열 (x_{k,1})_{k\in\mathbb N}\subseteq\mathbb R은 유계 수열이다. 따라서 실수에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라, 수렴하는 부분 수열을 가진다. 즉, 첫 번째 성분 (y_{k,1})_{k\in\mathbb N}이 수렴하도록 하는 원래 수열 (x_k)_{k\in\mathbb N}의 부분 수열 (y_k)_{k\in\mathbb N}이 존재한다.

이제 이 부분 수열 (y_k)_{k\in\mathbb N}의 두 번째 성분으로 이루어진 수열 (y_{k,2})_{k\in\mathbb N}을 생각하자. 이 역시 유계 수열이므로, 실수 정리에 따라 수렴하는 부분 수열을 가진다. 즉, 두 번째 성분 (z_{k,2})_{k\in\mathbb N}이 수렴하도록 하는 (y_k)_{k\in\mathbb N}의 부분 수열 (z_k)_{k\in\mathbb N}이 존재한다. 이때, (z_k)_{k\in\mathbb N}는 (y_k)_{k\in\mathbb N}의 부분 수열이므로, 첫 번째 성분 (z_{k,1})_{k\in\mathbb N} 역시 수렴한다.

이 과정을 n번 반복하면, 모든 i\in\{1,2,\ldots,n\}에 대하여 각 성분 수열 (w_{k,i})_{k\in\mathbb N}이 수렴하게 되는 원래 수열 (x_k)_{k\in\mathbb N}의 부분 수열 (w_k)_{k\in\mathbb N}을 얻을 수 있다. 이 부분 수열 (w_k)_{k\in\mathbb N}은 유클리드 공간 \mathbb R^n에서 수렴하는 부분 수열이다. 또한, 집합 S가 닫힌집합이므로, 이 부분 수열의 극한값은 S의 원소이다. 따라서 S는 점렬 콤팩트 공간이다.

'''(점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합)'''

점렬 콤팩트 집합 S\subseteq\mathbb R^n을 생각하자.

먼저 S가 유계임을 보이자. 만약 S가 유계가 아니라면, 다음과 같이 수열 (x_k)_{k\in\mathbb N}을 구성할 수 있다.

:x_0\in S

:x_{k+1}\in S\setminus B(x_0,k)\setminus B(x_0,d(x_k,x_0)) (여기서 B(a,r)은 중심이 a이고 반지름이 r인 열린 공, d(x,y)는 두 점 x,y 사이의 거리)

이 수열은 어떤 점으로도 수렴하는 부분 수열을 가질 수 없다. 이는 S가 점렬 콤팩트라는 가정에 모순된다. 따라서 S는 유계여야 한다.

다음으로 S가 닫힌집합임을 보이자. S 안의 원소로 이루어진 수열 (x_k)_{k\in\mathbb N}이 \mathbb R^n의 어떤 점 x로 수렴한다고 가정하자 (x_k \to x). S는 점렬 콤팩트이므로, (x_k)_{k\in\mathbb N}는 S 안의 어떤 점 y로 수렴하는 부분 수열 (x_{k_j})_{j\in\mathbb N}을 가진다 (x_{k_j} \to y \in S). 그런데 수렴하는 수열의 모든 부분 수열은 원래 수열과 같은 극한값을 가져야 하므로, x = y이다. 따라서 극한값 x는 S의 원소이다. 이는 S가 닫힌집합임을 의미한다.

3. 2. 2. 내포 구간을 이용한 증명

내포 구간 정리를 이용하여 볼차노-바이어슈트라스 정리를 증명할 수도 있다. 먼저 유계 수열 (x_n)이 주어졌다고 하자.

각 단계에서 구간의 길이는 절반으로 줄어들므로, 구간 길이의 극한은 0이다 (\lim_{n\to\infty} |I_n| = 0). 내포 구간 정리에 따르면, 닫힌 구간으로 이루어진 내포 구간열의 모든 구간에 공통으로 속하는 점 x가 유일하게 존재한다. 즉, \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{x\}이다.

이제 이렇게 찾은 점 x가 수열 (x_n)의 집적점임을 보여야 한다. x를 포함하는 임의의 근방 U를 생각하자. 구간의 길이가 0으로 수렴하므로, 충분히 큰 N에 대해 구간 I_N은 근방 U에 완전히 포함된다 (I_N \subseteq U). 그런데 구간 I_N은 구성 방식에 따라 수열 (x_n)의 항을 무한히 많이 포함한다. 따라서 I_N을 포함하는 근방 U 역시 (x_n)의 항을 무한히 많이 포함하게 된다. 이는 x가 수열 (x_n)의 집적점이라는 정의와 일치한다.

결론적으로, 모든 유계 수열 (x_n)은 적어도 하나의 집적점 x를 가지며, 이는 x로 수렴하는 (x_n)의 부분 수열이 존재함을 의미한다.

3. 3. 거리 공간에서의 실패

거리 공간에서, 점렬 콤팩트 공간은 항상 유계 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 '''Z'''에 이산 거리 함수를 부여하면, 이 집합은 유계이고 닫힌집합이다. 하지만 이 집합 안의 수열 (1, 2, 3, ...)은 수렴하는 부분 수열을 가지지 않으므로, 이 공간은 점렬 콤팩트 공간이 아니다.

4. 응용

볼차노-바이어슈트라스 정리는 해석학의 기본적인 정리로서, 그 자체로도 중요하지만 다양한 수학 분야 및 다른 학문 분야에서 중요한 결과를 증명하는 데 기초적인 도구로 활용된다. 예를 들어, 특정 조건 하에서 최적해나 균형점의 존재를 보이는 문제에 응용될 수 있다.

4. 1. 경제학

경제학에서는 다양한 중요한 균형 개념의 존재를 증명하는 데 볼차노-바이어슈트라스 정리의 변형이 종종 필요하다. 한 가지 예로 파레토 효율 할당의 존재 증명을 들 수 있다. 할당이란 경제 주체들에게 소비 묶음을 배분하는 행렬을 의미한다. 어떤 할당 상태에서, 특정 주체의 후생을 감소시키지 않으면서 다른 주체의 후생을 증가시키는 변화가 불가능할 때, 그 할당은 파레토 효율적이라고 한다(이때 할당 행렬의 각 행은 주체들의 선호 관계에 따라 순위가 매겨져야 한다). 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하면, 할당들의 집합이 컴팩트하고 비어 있지 않은 경우, 해당 경제 시스템 내에 파레토 효율적인 할당이 반드시 존재함을 증명할 수 있다.

참조

[1] 서적 2000
[2] 서적 2006
[3] 서적 2006
[4] 서적 2000
[5] 서적 실해석학개론 범한서적주식회사 2006


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